Semplificare circuiti logici tramite mappe di Karnaugh

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Come si semplifica un circuito logico? Cosa è una mappa di Karnaugh? Se non conosci la risposta a queste domande sei nel posto giusto!

In questo articolo descriveremo come effettuare la semplificazione di circuiti logici utilizzando le mappe di Karnaugh!

Semplificare un circuito logico vuol dire ottenerne uno equivalente, ma più semplice; quindi con meno porte logiche e meno cavi in gioco.

La tecnica

La tecnica di semplificazione può essere decomposta in 3 fasi:

  • Ottenere la tavola di verità del circuito;
  • Costruire la mappa di Karnaugh;
  • Semplificare il circuito.

Tavola di verità

Il primo passo da compiere è quello di ottenere la tavola di verità del circuito da semplificare. La tavola mostra il valore dell’ output al variare degli input, ogni riga della tavola conterrà quindi una configurazione di input e l’ output corrispondente.

Prendiamo come riferimento il circuito descritto dalla seguente proposizione: Y = (ABCD) + (BCD) + (ABD) + (AB)

Analizzando il circuito possiamo dedurre che l’ output positivo (1) viene ottenuto quando almeno una delle parentesi dia come output 1.

Inoltre le parentesi (AB) e (CD) descrivono il funzionamento della porta logica AND. 

N.B. Se sei arrivato a questo punto e non hai capito molto di ciò che c’è scritto ti consiglio di ripassarti il funzionamento dei circuiti logici.

Arrivati a questo punto possiamo costruire la tavola di verità:

tavola di verità

Tavola di Verità

Mappa di Karnaugh

Il secondo passaggio consiste nel costruire la mappa di Karnaugh a partire dagli output trovati nella tavola di verità.

Essendoci 16 combinazioni delle 4 variabili Booleane, anche la mappa di Karnaugh dovrà avere 8 posizioni. Il modo più conveniente per disporle è in una tabella 4×4.

I numeri binari nella griglia mostrano il valore d’uscita della funzione per tutte le combinazioni possibili di ingresso. Scriveremo zero all’estrema sinistra in alto poiché F = 0 quando A = 0, B = 0, C = 0, D = 0. Allo stesso modo scriveremo 1 in basso a destra poiché F = 1 quando A = 1, B = 1, C = 1, D = 1. Si noti che le coppie di variabili di input (A,B) sono ordinate con il codice Gray, in modo che fra coppie di celle adiacenti cambi una sola variabile (distanza di Hamming = 1).

Per una migliore leggibilità sono stati omessi gli zeri, in quanto non prendono parte nella computazione.

Karnaugh

Mappa di Karnaugh Variabili AB sulle colonne; Variabili CD sulle righe.

Semplificazione

Dopo aver costruito la mappa di Karnaugh si raggruppano gli 1 in rettangoli più grandi possibili, che però abbiano sempre un’area (in quadretti della tabella) pari ad una potenza di 2 (1, 2, 4, 8, 16, 32, …). I raggruppamenti ottimali, in questo esempio, sono i seguenti:

Semplificazione

Gruppi

Per ciascun raggruppamento troviamo le variabili che non cambiano il loro valore. Per il primo raggruppamento (il verde) si nota che:

  • Le variabili A e B mantengono lo stesso stato (1) in tutto il gruppo, quindi vengono incluse nel prodotto risultante.
  • Le variabili C e D non mantengono il loro valore, quindi devono essere escluse.

L’ espressione del gruppo risulta quindi essere: G1 = (AB)

Per il secondo raggruppamento (l’ arancione) si nota che:

  • Le variabili B, C e D mantengono lo stesso stato (1) in tutto il gruppo, quindi vengono incluse nel prodotto risultante.
  • La variabile A non mantengono il suo valore, quindi deve essere esclusa.

L’ espressione del gruppo risulta quindi essere: G2 = (BCD)

Per trovare l’ espressione risultante bisogna mettere in OR i vari gruppi.

Nel nostro caso Y = G1 + G2, che sviluppata diventa: Y = (AB) + (BCD)

Vantaggi e svantaggi

Questa tecnica permette di individuare visivamente i raggruppamenti possibili, mentre aumentando il numero di variabili in gioco questa tecnica decade ed è preferibile scegliere altri metodi.

A seguito di questo articolo verranno pubblicati altri articoli contenenti degli esercizi con un numero misto di variabili.

 

Vuoi tornare all’indice degli esercizi? Allora dai uno sguardo alla pagina dedicata ai Circuiti logici.

Alla prossima!


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